Question

6．甲、乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽培訓(xùn)．現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：
甲：8281797895889384
乙：9295807583809085
（Ⅰ）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；
（Ⅱ）現(xiàn)要從中選派一人參加正式比賽，從所抽取的兩組數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為選派哪位同學(xué)參加較為合適？并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若對(duì)甲同學(xué)在今后的3次測(cè)試成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)，記這3次成績(jī)中高于80分的次數(shù)為ξ（將甲8次成績(jī)中高于80分的頻率視為概率），求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出莖葉圖．
（II）利用平均數(shù)、方差的計(jì)算公式即可得出．
（Ⅲ）記“甲同學(xué)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)高于8（0分）”為事件A，$P（A）=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$．隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，且$ξ～B（3\;，\;\frac{3}{4}）$．可得$P（{ξ=k}）=C_3^k{（{\frac{3}{4}}）^k}{（{\frac{1}{4}}）^{3-k}}$，k=0，1，2，3．

解答 解：（Ⅰ）作出莖葉圖如下：
（Ⅱ）派甲參賽比較合適．理由如下：$\overline{x_甲}=\frac{1}{8}（{70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5}）=85$，$\overline{x_乙}=\frac{1}{8}（{70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5}）=85$，${s_甲}^2=\frac{1}{8}[{{{（{78-85}）}^2}+{{（{79-85}）}^2}+{{（{81-85}）}^2}+{{（{82-85}）}^2}+{{（{84-85}）}^2}+}\right.$（88-85）²+
（93-85）²+（95-85）²]=35.5，${s_乙}^2=\frac{1}{8}[{{{（{75-85}）}^2}+{{（{80-85}）}^2}+{{（{80-85}）}^2}+{{（{83-85}）}^2}+{{（{85-85}）}^2}+}\right.$（90-85）²+（92-85）²+（95-85）²]=41．
因?yàn)?nbsp;$\overline{x_甲}$=$\overline{x_乙}$，${s_甲}^2＜{s_乙}^2$，
所以，甲的成績(jī)較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適． 
注：本小題的結(jié)論及理由均不唯一，如果考生能從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度分析，給出其他合理回答，同樣給分．如
派乙參賽比較合適．理由如下：
從統(tǒng)計(jì)的角度看，甲獲得8（5分）以上（含85分）的頻率為${f_1}=\frac{3}{8}$，
乙獲得8（5分）以上（含85分）的頻率為${f_2}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$．
因?yàn)閒₂＞f₁，所以派乙參賽比較合適．
（Ⅲ）記“甲同學(xué)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)高于8（0分）”為事件A，$P（A）=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$．
隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，且$ξ～B（3\;，\;\frac{3}{4}）$．
∴$P（{ξ=k}）=C_3^k{（{\frac{3}{4}}）^k}{（{\frac{1}{4}}）^{3-k}}$，k=0，1，2，3．
所以變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$

${E}ξ=0×\frac{1}{64}+1×\frac{9}{64}+2×\frac{27}{64}+3×\frac{27}{64}=\frac{9}{4}$．
（或${E}ξ=nP=3×\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$．）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了莖葉圖的應(yīng)用、平均數(shù)、方差的計(jì)算公式、二項(xiàng)分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．