Question

數(shù)列{a_n}中，如果存在a_k，使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），則稱a_k為{a_n}的一個峰值．
（Ⅰ）若an=-3n2+11n，則{a_n}的峰值為

10

；
（Ⅱ）若a_n=tlnn-n，且a_n不存在峰值，則實數(shù) t的取值范圍是

{t|t≤

1

ln2

或t=

1

ln( n+1 n )

，n≥2，n∈N^*}

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可以令f（n）=a_n=-3n²+11n，利用數(shù)列的函數(shù)特性，可以判定函數(shù)的單調(diào)性及其最值問題；
（Ⅱ）若a_n=tlnn-n，且a_n不存在峰值，即不存在最值，從而求出實數(shù)t的取值范圍；

解答：解：（Ⅰ）若an=-3n2+11n，可以令f（n）=-3n²+11n，圖象開口向下，
可得f（n）=-3n²+11n=-3（n-

11

6

）²+

121

12

可以存在n=2，使得a₂=-3×4+11×2=10，對于任意的n∈N都有，a_n≤2，
可得{a_n}的峰值為10；
（Ⅱ）若a_n=tlnn-n，a₁=-1，a₂=tln2-2，a₃=tln3-3，a_k=tlnk-k
可以令g（x）=tlnx-x，g′（x）=

t

x

-1=

t-x

x

，（x＞t）
∵若a_n=tlnn-n，且a_n不存在峰值，即不存在先增后減的情況，
即a₁≥a₂，-1≥tln2-2，解得t≤

1

ln2

，
還有另外一種情況，后面每一項在t的調(diào)節(jié)下都相等，a_n不存在峰值，
即a_n=a_n+1，∴tlnn-n=tln（n+1）-（n+1），
解得t=

1

ln( n+1 n )

，n≥2，n∈N^*，
綜上可得：{t|t≤

1

ln2

或t=

1

ln( n+1 n )

，n≥2，n∈N^*}，
故答案為：10，{t|t≤

1

ln2

或t=

1

ln( n+1 n )

，n≥2，n∈N^*}；

點評：此題主要考查數(shù)列函數(shù)的特性，是一道中檔題，考查的知識點比較全面，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；