Question

設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值；

（2）當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值.

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求出導(dǎo)數(shù)方程的根，對(duì)此根與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）構(gòu)造函數(shù)，

利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，并確定函數(shù)的單調(diào)性，得到，消去并化簡(jiǎn)得到，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合，得到，從而求出的值.

（1），，

令得. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719292069121743/SYS201411171929444577210296_DA/SYS201411171929444577210296_DA.023.png">時(shí)，，時(shí)，，

所以在遞增，在遞減；

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上遞減，

所以時(shí)取最大值；

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在遞增，在遞減，

所以時(shí)，取最大值；

③當(dāng)即時(shí)，在遞增，

所以時(shí)取最大值；

（2）因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719292069121743/SYS201411171929444577210296_DA/SYS201411171929444577210296_DA.052.png">有唯一實(shí)數(shù)解，即有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)，則，

令，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719292069121743/SYS201411171929444577210296_DA/SYS201411171929444577210296_DA.058.png">，，

所以（舍去），，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以最小值為，

則，即，

所以，即，

設(shè)，

，恒成立，故在單調(diào)遞增，

至多有一解，

又，所以，即，解得.

考點(diǎn)：1.分類討論；2.函數(shù)的最值；3.函數(shù)的零點(diǎn)