Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

x+1

（a為非零常數(shù)），定義：f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f[f_k（x）]，k∈N^*，例如：f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…
（1）當(dāng)a=2時，求f2(1)，f3(-

1

7

)的值；
（2）若對于任意x≠-1，等式f₂（x）=x恒成立，求a的值；
（3）當(dāng)a確定后，f_k（x），k∈N^*的值都由x的值確定．當(dāng)a=2時，試通過對f_k（x）的探究，寫出一個使得集合{f_k（x）}為有限集的真命題（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=

2x

x+1

，然后根據(jù)f_k+1（x）=f[f_k（x）]可求出f2(1)，f3(-

1

7

)的值；
（2）若對于任意x≠-1，等式f₂（x）=x恒成立，將f₂（x）的解析式求出代入可轉(zhuǎn)化成a²=（a+1）x+1恒成立，從而求出a的值；
（3）結(jié)合（1）由a=2得到函數(shù)f（x）=

2x

x+1

，因為集合{f_k（x）}為有限集，可以令x=-

1

7

得到即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=

2x

x+1

∴f₂（1）=f[f（1）]=f（1）=1
f3(-

1

7

)=f{f[f(-

1

7

)]} =f[f(-

1

3

)] =f(-1)無意義
（2）若對于任意x≠-1，等式f₂（x）=x恒成立
∴f₂（x）=

a• ax x+1

ax x+1 +1

=

a2x

ax+x+1

=x恒成立即a²=（a+1）x+1恒成立
∴a=-1
（3）結(jié)合（1）滿足條件的真命題為：函數(shù)f（x）=

2x

x+1

，若x=-

1

7

，則集合{f_k（x）}為有限集．

點評：本題主要考查了學(xué)生會利用函數(shù)的遞推式解決數(shù)學(xué)問題，以及恒成立問題，屬于中檔題．