Question

16．已知P-ABC為正三棱錐，底面邊長為2，設(shè)D為PB的中點(diǎn)，且AD⊥PC，如圖所示
（1）求證：PC⊥平面PAB；
（2）求二面角D-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC為x軸，OA為y軸，過O作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PC⊥平面PAB．
（2）求出平面ACD的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角D-AC-B的平面角的余弦值．

解答 證明：（1）以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC為x軸，OA為y軸，過O作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，1，0），B（0，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），由于點(diǎn)P在△ABC中的射影為△ABC的中心，
設(shè)P（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，h），故$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0，-h），$\overrightarrow{AB}$=（0，-2，0），
$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}×0+0×（-2）+（-h）×0=0$，
∴PC⊥AB，而PC⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PC⊥平面PAB．
（2）由中點(diǎn)公式知D（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{h}{2}$），
由$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{PC}$，知：$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{PC}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}{h}^{2}$=0，解得h=$\sqrt{\frac{2}{3}}$，
設(shè)平面ACD的法向量為$\overrightarrow{a}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{a}=\frac{\sqrt{3}}{6}x-\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{6}}{6}z=0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{a}=\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，解得$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{6}，8$），
平面ABC的法向量為$\overrightarrow$=（0，0，1），
設(shè)所求二面角的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{8}{\sqrt{72}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴二面角D-AC-B的平面角的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．