Question

11．已知方程lnx-kx=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，e^-1）
• B． （0，e^-1）
• C． （e，+∞）
• D． （0，e）

Answer 1

分析 令lnx=kx得lnx=kx，分別做出y=lnx和y=kx的函數(shù)圖象，求出y=lnx的過原點(diǎn)的切線的斜率，利用圖象得出實(shí)數(shù)k的范圍．

解答 解：令lnx-kx=0得lnx=kx，
做出y=lnx和y=kx的函數(shù)圖象，

設(shè)y=k₁x與y=lnx相切，切點(diǎn)為（x₀，y₀），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={k}_{1}{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}={k}_{1}}\end{array}\right.$，解得k₁=$\frac{1}{e}$，x₀=e，y₀=1．
∵方程lnx-kx=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴y=lnx和y=kx的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴0＜k$＜\frac{1}{e}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．