Question

1．在單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}中，a₁=2，不等式（n+1）a_n≥na_2n對(duì)任意n∈N*都成立．
（1）求a₂的取值范圍．
（2）判斷數(shù)列{a_n}能否為等比數(shù)列，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．
（2）數(shù)列{a_n}不能為等比數(shù)列．用反證法證明：假設(shè)數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，a₁=2＞0，a_n=2q^n-1．根據(jù){a_n}單調(diào)遞增，可得q＞1．根據(jù)n∈N^*，（n+1）a_n≥na_2n都成立．可得n∈N^*，1+$\frac{1}{n}$≥qⁿ．?n₀∈N^*，使得當(dāng)n≥n₀時(shí)，qⁿ＞2．可得矛盾．

解答 解：（1）∵{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，a₁=2，不等式（n+1）a_n≥na_2n對(duì)任意n∈N*都成立．
∴a₂＞a₁，a₂＞2．
令n=1，2a₁≥a₂，a₂≤4，
∴a₂∈（2，4]．
（Ⅱ）證明：數(shù)列{a_n}不能為等比數(shù)列．
用反證法證明：
假設(shè)數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，a₁=2＞0，a_n=2q^n-1．
因?yàn)閧a_n}單調(diào)遞增，所以q＞1．
因?yàn)閚∈N^*，（n+1）a_n≥na_2n都成立．
所以n∈N^*，1+$\frac{1}{n}$≥qⁿ①
因?yàn)閝＞1，所以?n₀∈N^*，使得當(dāng)n≥n₀時(shí)，qⁿ＞2．
因?yàn)?+$\frac{1}{n}$≤2（n∈N^*）．
所以?n₀∈N^*，當(dāng)n≥n₀時(shí)，qⁿ＞1+$\frac{1}{n}$，與①矛盾，故假設(shè)不成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性、反證法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．