Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足：S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1）；
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{2{S_n}}}{a_n}$+1，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值；
（3）若數(shù)列{b_n}是（2）中的等比數(shù)列，數(shù)列c_n=（n-1）b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求得通項(xiàng)公式；
（2）簡(jiǎn)化數(shù)列{b_n}，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征，得出$\frac{2a}{a-1}+1$=0，解得參數(shù)a；
（3）由（2）求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特征，采用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，${S}_{1}=\frac{a}{a-1}{（a}_{1}-1）$，
∴a₁=a，${S}_{n-1}=\frac{a}{a-1}（{a}_{n-1}-1）$，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）且${S}_{n-1}=\frac{a}{a-1}（{a}_{n-1}-1）$，
兩式做差化簡(jiǎn)得：a_n=a•a_n-1
即：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=a$，
∴數(shù)列{a_n}是以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}={a}^{n}（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1）$．
（2）b_n=$\frac{{2{S_n}}}{a_n}$+1=$（\frac{2a}{a-1}+1）-\frac{2a}{（a-1）{a}^{n}}$，
若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
則$\frac{2a}{a-1}+1$=0，即$a=\frac{1}{3}$．
（3）由（2）知${b_n}={3^n}$，
∴${c}_{n}=（n-1）•{3}^{n}$
∴T_n=0×3+1×3²+2×3³+…+（n-1）3ⁿ    …①
  3T_n=0×3²+1×3³+2×3⁴+…+（n-2）×3ⁿ+（n-1）×3ⁿ⁺¹  …②
①-②得：-2T_n=3²+3³+3⁴+…+3ⁿ-（n-1）×3ⁿ⁺¹
=$（\frac{3-2n}{2}）×{3}^{n+1}-\frac{9}{2}$
∴${T_n}={3^{n+1}}•\frac{2n-3}{4}+\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求數(shù)列通項(xiàng)公式，已知等比數(shù)列求參數(shù)，求數(shù)列前n項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減求前前n項(xiàng)和是關(guān)鍵．