Question

已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點，漸近線方程是3x±2y=0，左焦點的坐標(biāo)為，A、B為雙曲線C上的兩個動點，滿足•=0．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）動點P在線段AB上，滿足•=0，求證：點P在定圓上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，能求出雙曲線C的方程．
（Ⅱ）解法一：當(dāng)過A、B兩點的直線斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，由得，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理知．由，知，由此能導(dǎo)出為定值；當(dāng)過A，B兩點的直線斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為x=m，則可驗證為定值．
解法二：設(shè)A（rcosθ，rsinθ）、B（kcosα，ksinα），則，點A在雙曲線上，則．由得cos²α=sin²θ，cos²θ=sin²α，同理，．由此得為定值．
（Ⅲ）由三角形面積公式，得，所以，由此能夠證明點P在定圓上．
解答：解：（Ⅰ）由題意，則由c²=a²+b²得a=2，b=3
所以雙曲線C的方程為…（2分）
（Ⅱ）解法一：①當(dāng)過A、B兩點的直線斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，則
由得…（4分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∴…（5分）
又，則x₁x₂+y₁y₂=0，
即，
∴5m²=36（k²+1）
滿足△=64k²m²+16（m²+9）（9-4k²）=64m²+117＞0…（6分）
設(shè)原點O到直線AB的距離為d，
則，又由
∴
=
=，
∴為定值…（8分）
②當(dāng)過A，B兩點的直線斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為x=m，則可驗證為定值…（10分）
解法二：設(shè)A（rcosθ，rsinθ）、B（kcosα，ksinα），則…（4分）
點A在雙曲線上，則…（6分）
由得cos²α=sin²θ，cos²θ=sin²α
同理，…（8分）
所以為定值…（10分）
（Ⅲ）由三角形面積公式，得
所以
即
所以點P在以原點為圓心，半徑的圓上…（13分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．