Question

13．若等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=a，n≥2時(shí)S_n²=3n²a_n+S²_n-1，a_n≠0，n∈N^*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且b_n=$\frac{1}{{（{{a_n}-1}）（{{a_n}+2}）}}$，求證：T_n＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、平方差公式可得：S_n+S_n-1=3n²．令n=2，3，可得方程組，解出即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=3n．由b_n=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$．利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由n≥2時(shí)，S_n²=3n²a_n+S²_n-1，a_n≠0，n∈N^*．
可得S_n²-S²_n-1=3n²a_n，
∴（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=3n²a_n，∴S_n+S_n-1=3n²．
令n=2，3，可得$\left\{\begin{array}{l}{3a+d=12}\\{5a+4d=27}\end{array}\right.$，
解得a=3，d=3．
（2）證明：由（1）可得：a_n=3+3（n-1）=3n．
∴b_n=$\frac{1}{{（{{a_n}-1}）（{{a_n}+2}）}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$．
∴T_n=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}-\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+1}）$＜$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、平方差公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．