Question

8．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為6，且滿足a_n=3a_n-1-6（n＞2）．
（1）求證數(shù)列{a_n-3}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)b_n=a_n+2n-3，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題知a₁-3=3，$\frac{{a}_{n}-3}{{a}_{n-1}-3}$=$\frac{3{a}_{n-1}-6-3}{{a}_{n-1}-3}$=3，從而證明數(shù)列{a_n-3} 是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由${b_n}={3^n}+2n$，利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為6，
∴由題知a₁-3=3．…1分
∵a_n=3a_n-1-6（n＞2），
∴$\frac{{a}_{n}-3}{{a}_{n-1}-3}$=$\frac{3{a}_{n-1}-6-3}{{a}_{n-1}-3}$=$\frac{3（{a}_{n-1}-3）}{{a}_{n-1}-3}$=3，…3分
$\therefore$數(shù)列{a_n-3} 是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．…4分
∴${a_n}-3=3×{3^{n-1}}={3^n}$ …5分
∴${a_n}={3^n}+3$．…6分
（2）∵b_n=a_n+2n-3，
∴${b_n}={3^n}+2n$ …7分
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（3¹+2×1）+（3²+2×2）+（3³+2×3）+…+（3ⁿ+2×n） …8分
=（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）+2（1+2+3+…+n） …9分
=$\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}+2×\frac{n（1+n）}{2}$ …10分
=$\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}+{n^2}+n$．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．