Question

8．在四面體ABCD中，AC=BD，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，∠BDC=90°，求證：BD⊥平面ACD．

Answer 1

分析 作BC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，先證明出EG⊥GF，進而證明出BD⊥EG，最后根據(jù)線面垂直的判定定理證明出BD⊥平面ACD．

解答 證明：作DC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，
∴則EG=$\frac{1}{2}$AC=GF=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
∴EG²+GF²=$\frac{1}{2}$AC²=EF²，
∴FG⊥FE，
∵EG∥AC，F(xiàn)G∥BD，∠BDC=90°，
∴BD⊥GE，BD⊥AC，
∵BD⊥DC，DC?平面ACD，AC?平面ACD，AC∪CD=C，
∴BD⊥平面ACD．

點評 本題主要考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了空間想象能力和推論論證能力，證明的關(guān)鍵是找到兩條相交的與之垂直的直線，屬于中檔題．