Question

如圖，菱形ABCD所在平面與矩形ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且點M是線段EF的中點．
（1）求證：AM∥平面BDE；（6分）
（2）求證：平面DEF⊥平面BEF．（8分）

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連OE，證明EOAM為平行四邊形，從而有EO∥AM，再由線面平行的判定定理得到結(jié)論．
（Ⅱ）要證明平面DEF⊥平面BEF，要轉(zhuǎn)化DM⊥平面BEF，只要再證明DM⊥EF和DM⊥BM即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連OE．
由題意可得EM=

1

2

EF=

1

2

AC=AO，
又∵EM∥AO，
∴EOAM為平行四邊形，
∴EO∥AM．
∵EO?平面EBD，AM?平面EBD
∴AM∥平面EBD

（Ⅱ）連DM，BM，MO
∵AF⊥AC，EC⊥AC，平面AFEC⊥平面ABCD
∴AF⊥平面ABCD，EC⊥平面ABCD，
∴AF⊥AD，EC⊥DC，又ABCD為菱形，
∴AD=DC，
∴DF=DE．
又點M是EF的中點，
∴DM⊥EF
∵BD=2AF，∴DO=

1

2

BD=AF=MO
∴∠DMO=45°，同理∠BMO=45°
∴DM⊥BM
又EF∩BM=M
∴DM⊥平面BEF
∴平面DEF⊥平面BEF

點評：本題主要考查線線，線面，面面平行，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，屬中檔題．