Question

已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為f（n）-c，數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和S_n滿足S_n-S_n-1=（n≥2）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{}前n項(xiàng)和為T_n，問(wèn)滿足T_n＞的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)（1，）在f（x）=a^x上求出a的值，從而確定函數(shù)f（x）的解析式，再由等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為f（n）-c求出數(shù)列{a_n}的公比和首項(xiàng)，得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；由數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n-S_n-1=可得到數(shù)列{}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而得到數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，再由b_n=S_n-S_n-1可確定{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）先表示出T_n再利用裂項(xiàng)法求得的表達(dá)式T_n，根據(jù)T_n＞求得n．
解答：解：（Ⅰ）∵f（1）=a=
∴f（x）=（）^x，
∴a₁=f（1）-c=-c，
∴a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=
又?jǐn)?shù)列{a_n}成等比數(shù)列，
=-，
∵a₁=-c
∴-=-c，∴c=1
又公比q==
所以a_n=（）^n-1=-（）ⁿ，n∈N；
∵S_n-S_n-1==（n≥2）
又b_n＞0，＞0，∴=1；
∴數(shù)列{}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，
∴=1+（n-1）×1=n，S_n=n²
當(dāng)n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又b₁=c=1適合上式，∴b_n=2n-1（n∈N）；
（Ⅱ）T_n=++…+=
=（1-）+（-）+（）+…+=（1-）=
由＞，得n＞
滿足的最小正整數(shù)為84．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和問(wèn)題．考查學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力．