Question

已知a，b為常數且a≠0，函數f（x）=ax²+bx，若f（2）=0且方程f（x）=x有等根．
（1）求函數f（x）的解析式及值域；
（2）是否存在實數m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用,函數解析式的求解及常用方法,函數的零點與方程根的關系

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由于方程f（x）=x有等根，所以可求b=1，利用f（2）=0可求a=-

1

2

，故函數解析式可求，然后利用二次函數的性質求解值域．
（2）利用函數的最大值可知f（x）在[m，n]上單調遞增，從而可建立方程組，故滿足條件的m，n存在．

解答： 解：（1）∵方程ax²+bx-x=0有等根，∴△=（b-1）²=0，得b=1．
∵f（2）=0，∴a=-

1

2

，
∴f（x）的解析式為f（x）=-

1

2

（x-1）²+

1

2

；
∵函數是二次函數，-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

．
∴函數的值域為：（-∞，

1

2

]．
（2）∵f（x）=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，∴2n≤

1

2

，∴n≤

1

4

，∴f（x）在[m，n]上單調遞增，
若滿足題設條件的m，n存在，則

f(m)=2m f(n)=2n

，
∴

m=-2 n=0

即這時定義域為[-2，0]，值域為[-4，0]．
由以上知滿足條件的m，n存在，m=-2，n=0．

點評：本題主要考查函數與方程的綜合運用，二次函數解析式的求法與運用，涉及分類討論，轉化思想．