Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠BCD=120°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E為PA的中點(diǎn)，O為底面對角線的交點(diǎn)；
（1）求證：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明面面垂直一般利用面面垂直的判定定理故可連接EO可利用中位線定理證得EO∥PC再結(jié)合PC⊥平面ABCD可得EO⊥平面ABCD即可得證．
（2）先利用二面角的定義做出二面角然后再證明作出的二面角既是所求的平面角，而要做二面角最關(guān)鍵的是過其中一個面的一個頂點(diǎn)向另一個面作出垂線而此問的垂線根據(jù)題中的條件可證明出即為AO然后過O在平面OEB內(nèi)作OF⊥BE于F連OF則∠AFO為二面角A-EB-O的平面角然后將線段AO，AF，OF放在三角形中計算出來即可求出二面角的正切值．
解答：解：（1）連接EO，則由于E為PA的中點(diǎn)，O為底面對角線的交點(diǎn)所以O(shè)E為△APC的中位線所以EO∥PC，
又PC⊥平面ABCD∴OE⊥平面ABCD
∴平面EDB⊥平面ABCD-----------------------------------------------------（6分）
（2）ABCD為菱形，，
過O在平面OEB內(nèi)作OF⊥BE于F，連OF，∠AFO為二面角A-EB-O的平面角，
tan∠AFO=---------------------------------------------------------（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用面面垂直的判定定理證明面面垂直和二面角的平面角的做法以及求二面角的一個三角函數(shù)值．證明的關(guān)鍵是要完全理解面面垂直的判定定理（主要找到EO⊥平面ABCD）而二面角的平面角的作出要完全根據(jù)二面角的定義（主要是過其中一個面的一個頂點(diǎn)向另一個面作出垂線而此問的垂線根據(jù)題中的條件可證明出即為AO），只要把握住這兩點(diǎn)此題就迎刃而解了！