Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）存在零點，且對任意m，n∈R都滿足f[mf（m）+f（n）]=f²（m）+n．若關于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三個不同的根，則實數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：令函數(shù)y=f（x）的零點為m，即f（m）=0，則由對任意m，n∈R都滿足f[mf（m）+f（n）]=f²（m）+n．可得f[f（x）]=x，進而x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三個不同的根，可轉(zhuǎn)化為|x-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三個不同的根，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論后，可得答案．

解答： 解：令函數(shù)y=f（x）的零點為m，即f（m）=0，
∵對任意m，n∈R都滿足f[mf（m）+f（n）]=f²（m）+n．
則f[f（n）]=n恒成立，
即f[f（x）]=x，
若關于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三個不同的根，
即|x-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三個不同的根，
當0＜a＜1時，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象有兩個交點，即關于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有兩個不同的根，不滿足條件；
當1＜a＜3時，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象有一個交點，即關于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有一個不同的根，不滿足條件；
當a=3時，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象有兩個交點，即關于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有兩個不同的根，不滿足條件；
當a＞3時，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)y=|x-3|與y=1-log_ax的圖象有三個交點，即關于x的方程|f[f（x）]-3|=1-log_ax（a＞0，a≠1）恰有三個不同的根，滿足條件；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（3，+∞），
故答案為：（3，+∞）

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)零點的判定，其中根據(jù)已知確定出f[f（x）]=x，是解答的關鍵．