Question

如圖，已知橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1，Q是橢圓的右準線l上一動點，直線OQ交橢圓C于A、B兩點，圓O：x²+y²=4，QM、QN是圓O的兩條切線，M、N為切點．
（1）求證：直線MN恒過橢圓C的右焦點F；
（2）若點P是橢圓上任意一點，且直線AP、BP的斜率都存在，分別記為k₁，k₂，探究k₁•k₂是否為定值？說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得l：x=2

2

，設Q(2

2

，t)，得到MN：2

2

x+ty-4=0，由此能證明MN經(jīng)過右焦點F．
（2）設P（x₁，y₁），A（x₂，y₂），得B（-x₂，-y₂），由此能推導出k₁•k₂為定值-1．

解答： （1）證明：∵橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1右準線是l，l：x=2

2

，
∵Q是橢圓的右準線l上一動點，∴設Q(2

2

，t)，
∵直線OQ交橢圓C于A、B兩點，圓O：x²+y²=4，QM、QN是圓O的兩條切線，M、N為切點．
∴MN：2

2

x+ty-4=0，
令y=0，x=

2

，
∴MN經(jīng)過右焦點F(

2

，0)…（8分）
（2）解：設P（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
∵A、B關于原點對稱，
∴B（-x₂，-y₂），
∴k1k2=

y2-y1

x2-x1

•

y1+y2

x2+x1

=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

1

2

．…（16分）

點評：本題考查直線MN恒過橢圓C的右焦點F的證明，考查k₁•k₂是否為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．