Question

如圖，已知橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1，Q是橢圓的右準(zhǔn)線l上一動(dòng)點(diǎn)，直線OQ交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，圓O：x²+y²=4，QM、QN是圓O的兩條切線，M、N為切點(diǎn)．
（1）求證：直線MN恒過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F；
（2）若點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線AP、BP的斜率都存在，分別記為k₁，k₂，探究k₁•k₂是否為定值？說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知得l：x=2

2

，設(shè)Q(2

2

，t)，得到MN：2

2

x+ty-4=0，由此能證明MN經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），A（x₂，y₂），得B（-x₂，-y₂），由此能推導(dǎo)出k₁•k₂為定值-1．

解答： （1）證明：∵橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1右準(zhǔn)線是l，l：x=2

2

，
∵Q是橢圓的右準(zhǔn)線l上一動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)Q(2

2

，t)，
∵直線OQ交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，圓O：x²+y²=4，QM、QN是圓O的兩條切線，M、N為切點(diǎn)．
∴MN：2

2

x+ty-4=0，
令y=0，x=

2

，
∴MN經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F(

2

，0)…（8分）
（2）解：設(shè)P（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B（-x₂，-y₂），
∴k1k2=

y2-y1

x2-x1

•

y1+y2

x2+x1

=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

1

2

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線MN恒過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的證明，考查k₁•k₂是否為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．