Question

19．如圖所示，F(xiàn)₁和F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF₁|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F₂AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 連接AF₁，根據(jù)△F₂AB是等邊三角形可知∠AF₂B=60°，F(xiàn)₁F₂是圓的直徑可表示出|AF₁|、|AF₂|，再由雙曲線的定義可得$\sqrt{3}$c-c=2a，從而可求雙曲線的離心率．

解答 解：連接AF₁，則∠F₁AF₂=90°，∠AF₂B=60°，
∴|AF₁|=c，|AF₂|=$\sqrt{3}$c，
∴$\sqrt{3}$c-c=2a，
∴e=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1，
故選：D．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問題和數(shù)形結(jié)合的思想的運用，屬基礎(chǔ)題．