Question

6．已知函數(shù)f（x）=2cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+a的周期為π，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上最大值與最小值之和為3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上最大值與最小值，再根據(jù)最大值與最小值之和為3，求得a的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+a=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx+a+1=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1+a的周期為π，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，ω=1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+3•$\frac{π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，f（x）∈[a，3+a]，
由題意可得a+（3+a）=3，∴a=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．