Question

14．已知${（\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{4}{x}}}）^n}$的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列．則展開式常數(shù)項(xiàng)為0．

Answer 1

分析 首先求出前三項(xiàng)的系數(shù)，利用前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列．得到關(guān)于n 的方程求出n，然后求常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：因?yàn)榍叭��?xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列．
又前三項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值分別為：1，$\frac{1}{{2}^{\;}}{C}_{n}^{1}$，$\frac{1}{4}{C}_{n}^{2}$，
所以2×$\frac{1}{2}{C}_{n}^{1}$=1+$\frac{1}{4}{C}_{n}^{2}$，整理得n²-9n+8=0，解得n=8，（n=1舍去），
所以展開式的通項(xiàng)為$（-\frac{1}{2}）^{r}{C}_{8}^{r}{x}^{4-\frac{3}{4}r}$，所以r=$\frac{16}{3}$時(shí)，為常數(shù)項(xiàng)，
但是r∉Z，所以展開式?jīng)]有常數(shù)項(xiàng)；故常數(shù)項(xiàng)為0；
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是正確求出指數(shù)，利用展開式的通項(xiàng)求特征項(xiàng)．