甲烷分子由一個(gè)碳原子和四個(gè)氫原子構(gòu)成，其空間結(jié)構(gòu)為正四面體，碳原子位于該正四面體的中心，四個(gè)氫原子分別位于該正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)上，若將碳原子和氫原子均視為一個(gè)點(diǎn)（體積忽略不計(jì)），設(shè)碳原子與每個(gè)氫原子的距離都是a，則該正四面體的體積為
 
．
考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析：由題意立即聯(lián)想到正四面體的外接球，而正四面體又可以看作是正方體的六條面對(duì)角線圍成的圖形，因此，將正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，從而建立相關(guān)量之間的關(guān)系，即可求出正四面體的體積．
解答： 解：顯然，四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在以中心（碳原子）為球心，中心到各頂點(diǎn)（氫原子）的距離為半徑的球面上，
如圖，將此正四面體ABCD補(bǔ)成正方體BD′，
其中A′、B′、D′也在球面上，
設(shè)任意兩個(gè)氫原子之間的距離為x，則2a=BD′．
 BD′、AB（x）、AA′之間的關(guān)系是x=AB=
2
AA′，2a=BD'=
3
AA′，
 因此AA′=
2
2
x=
2
3
3
a，
∴正四面體的體積為（
2
3
3
a）3-4×
1
3
×
1
2
×（
2
3
3
a）3=
8
27
3
a3，
故答案為：
8
27
3
a3．
點(diǎn)評(píng)：在立體幾何中，我們常常將四面體補(bǔ)成正四面體或平行六面體、正四面體補(bǔ)成正方體、過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直的四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體、四棱錐補(bǔ)成平行六面體等等，掌握這些補(bǔ)形規(guī)律，有助于提高解題能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x（lnx+1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）如果在公共定義域D上的函數(shù)f（x），f1（x），f2（x）滿足f1（x）＜f（x）＜f2（x），那么就稱f（x）為f1（x）、f2（x）的“可控函數(shù)”．已知函數(shù)f1（x）=xlnx-a2lnx-
1
2
x2+（2a+1）x，f2（x）=x3+x+a，若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f1（x）、f2（x）的“可控函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知α為第三象限角，f（α）=
sin(α-
π
2
)cos(
3π
2
+α)tan(π-α)
tan(-α-π)sin(-α-π)
．
（Ⅰ）化簡(jiǎn)f（α）；
（Ⅱ）若cos（α-
3π
2
）=
3
4
，求f（2π+α）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

解關(guān)于x的不等式 loga（x+5）＞loga（3-x）（a＞0且a≠1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={x|x2-x+2m+6=0，x∈R}，B={x|x（x2+x+1）＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若n=2
∫
π
2
-
π
2
cosxdx，則（1-x）n的展開(kāi)式中x2項(xiàng)系數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=0，a2=-
4
3
，則{an}的前10項(xiàng)和等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（x2+3x+2）5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，若a=b=1，c=
3
，則C=
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案