Question

甲烷分子由一個碳原子和四個氫原子構(gòu)成，其空間結(jié)構(gòu)為正四面體，碳原子位于該正四面體的中心，四個氫原子分別位于該正四面體的四個頂點上，若將碳原子和氫原子均視為一個點（體積忽略不計），設(shè)碳原子與每個氫原子的距離都是a，則該正四面體的體積為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意立即聯(lián)想到正四面體的外接球，而正四面體又可以看作是正方體的六條面對角線圍成的圖形，因此，將正四面體補成一個正方體，從而建立相關(guān)量之間的關(guān)系，即可求出正四面體的體積．

解答： 解：顯然，四面體的四個頂點在以中心（碳原子）為球心，中心到各頂點（氫原子）的距離為半徑的球面上，
如圖，將此正四面體ABCD補成正方體BD′，
其中A′、B′、D′也在球面上，
設(shè)任意兩個氫原子之間的距離為x，則2a=BD′．
 BD′、AB（x）、AA′之間的關(guān)系是x=AB=

2

AA′，2a=BD'=

3

AA′，
 因此AA′=

2

2

x=

2 3

3

a，
∴正四面體的體積為（

2 3

3

a）³-4×

1

3

×

1

2

×（

2 3

3

a）³=

8

27

3

a³，
故答案為：

8

27

3

a³．

點評：在立體幾何中，我們常常將四面體補成正四面體或平行六面體、正四面體補成正方體、過同一個頂點的三條棱兩兩垂直的四面體補成長方體、四棱錐補成平行六面體等等，掌握這些補形規(guī)律，有助于提高解題能力．