【題目】設(shè)F1,F2分別為橢圓C
(1)若橢圓C上的點(diǎn)
(2)設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動點(diǎn),求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程;
(3)已知橢圓具有性質(zhì):若M,N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時,那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值,試寫出雙曲
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析
【解析】
分析:(1)到兩交點(diǎn)的距離之和為4,點(diǎn)在曲線上,列出的方程求解即可。
(2)設(shè)橢圓上的動點(diǎn)為,線段的中點(diǎn),利用中點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式,列出與的坐標(biāo)關(guān)系,用表示出,代入橢圓方程即可。
(3)分別設(shè)出的坐標(biāo),表示出斜率化簡整理即可。
詳解:(1)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上.由橢圓上的點(diǎn)A到F1,F2兩點(diǎn)的距離之和是4,得2a=4,即a=2.
又點(diǎn)A,
∴+=1,b2=3.
∴c2=a2-b2=1.
∴橢圓C的方程+=1,焦點(diǎn)F1(-1,0),F2(1,0).
(2)設(shè)橢圓C上的動點(diǎn)為K(x1,y1),線段F1K的中點(diǎn)Q(x,y)滿足:x=,y=,
∴x1=2x+1,y1=2y.
∴+=1,
+=1為所求的軌跡方程.
(3)類似的性質(zhì)為:若M,N是雙曲-=1(a>0,b>0)上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時,那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.
證明:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,n),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-m,-n),其-=1.
又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
∵kPM=,kPN=,
∴kPM·kPN=.
-=1,
∴x2=a2,m2=a2.
∴x2-m2=(y2-n2).
∴kPM·kPN==(定值).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
(1)[選修4﹣1:幾何證明選講]
如圖,AB是圓O的直徑,D,E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),連接BD并延長至點(diǎn)C,使BD=DC,連接AC,AE,DE.
求證:∠E=∠C.
(2)[選修4﹣2:矩陣與變換]
已知矩陣A的逆矩陣 ,求矩陣A的特征值.
(3)[選修4﹣4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在極坐標(biāo)中,已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P( , ),圓心為直線ρsin(θ﹣ )=﹣ 與極軸的交點(diǎn),求圓C的極坐標(biāo)方程.
(4)[選修4﹣5:不等式選講]
已知實(shí)數(shù)x,y滿足:|x+y|< ,|2x﹣y|< ,求證:|y|< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北京某附屬中學(xué)為了改善學(xué)生的住宿條件,決定在學(xué)校附近修建學(xué)生宿舍,學(xué)?倓(wù)辦公室用1000萬元從政府購得一塊廉價土地,該土地可以建造每層1000平方米的樓房,樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān),樓房每升高一層,整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高0.02萬元,已知建筑第5層樓房時,每平方米建筑費(fèi)用為0.8萬元.
(1)若學(xué)生宿舍建筑為層樓時,該樓房綜合費(fèi)用為萬元,綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購地費(fèi)用之和),寫出的表達(dá)式;
(2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低,學(xué)校應(yīng)把樓層建成幾層?此時平均綜合費(fèi)用為每平方米多少萬元?
【答案】(1);(2)學(xué)校應(yīng)把樓層建成層,此時平均綜合費(fèi)用為每平方米萬元
【解析】
由已知求出第層樓房每平方米建筑費(fèi)用為萬元,得到第層樓房建筑費(fèi)用,由樓房每升高一層,整層樓建筑費(fèi)用提高萬元,然后利用等差數(shù)列前項和求建筑層樓時的綜合費(fèi)用;
設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為,則,然后利用基本不等式求最值.
解:由建筑第5層樓房時,每平方米建筑費(fèi)用為萬元,
且樓房每升高一層,整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高萬元,
可得建筑第1層樓房每平方米建筑費(fèi)用為:萬元.
建筑第1層樓房建筑費(fèi)用為:萬元.
樓房每升高一層,整層樓建筑費(fèi)用提高:萬元.
建筑第x層樓時,該樓房綜合費(fèi)用為:.
;
設(shè)該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為,
則:,
當(dāng)且僅當(dāng),即時,上式等號成立.
學(xué)校應(yīng)把樓層建成10層,此時平均綜合費(fèi)用為每平方米萬元.
【點(diǎn)睛】
本題考查簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法,訓(xùn)練了等差數(shù)列前n項和的求法,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,是中檔題.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】已知.
(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程;
(2)若,求的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有0,1,2,3,4,5六個數(shù)字.
(1)用所給數(shù)字能夠組成多少個四位數(shù)?
(2)用所給數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?
(3)用所給數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字且比3142大的數(shù)?(最后結(jié)果均用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·新課標(biāo)1卷)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為 , E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點(diǎn),則|AB|= ( )
A.3
B.6
C.9
D.12
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C: =1(a>b>0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左,右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PF⊥x軸,過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn),則C的離心率為( 。
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝店為慶祝開業(yè)“三周年”,舉行為期六天的促銷活動,規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎活動,隨著抽獎活動的有效開展,第五天該服裝店經(jīng)理對前五天中參加抽獎活動的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,表示第天參加抽獎活動的人數(shù),得到統(tǒng)計表格如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
4 | 6 | 10 | 23 | 22 |
(1)若與具有線性相關(guān)關(guān)系,請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)預(yù)測第六天的參加抽獎活動的人數(shù)(按四舍五入取到整數(shù)).
參考公式與參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐P - ABCD的底面為直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC
(1)證明平面PAD⊥平面PCD;
(2)求AC與PB所成角的余弦值;
(3)求平面AMC與平面BMC所成二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(1)證明:PC⊥AD;
(2)求二面角A﹣PC﹣D的正弦值;
(3)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
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