Question

【題目】已知四棱錐P - ABCD的底面為直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC

(1)證明平面PAD⊥平面PCD;

(2)求AC與PB所成角的余弦值;

(3)求平面AMC與平面BMC所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2).

(3) -.

【解析】分析：以A為坐標(biāo)原點,AD長為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）求出，，計算=0，推出AP⊥DC，然后證明DC⊥面PAD，即可證明面PAD⊥面PCD；

（2）利用空間向量的數(shù)量積，求AC與PB所成角的余弦值；

（3）MCN(x,y,z),λ∈R,=λ，說明∠ANB為所求二面角的平面角，求出，計算,即可取得結(jié)果.

詳解: (1)因為PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,所以可以以A為坐標(biāo)原點,AD長為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系.

如圖,則各點坐標(biāo)為A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M.

∵=(0,0,1),=(0,1,0),=0,

∴AP⊥DC.

又由題設(shè)知:AD⊥DC,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線,由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD內(nèi),故面PAD⊥面PCD.

=(1,1,0),=(0,2,-1),

∴||=,||=,=2,

∴cos<,>==.

ACPB.

MCN(x,y,z),λ∈R,=λ,

=(1-x,1-y,-z),=,

∴x=1-λ,y=1,z=λ.

要使AN⊥MC,只=0,即x-z=0,

解得λ=.可知當(dāng)λ=,N點坐標(biāo),

能=0.

此時,=,=,

=0.

=0,=0,得AN⊥MC,BN⊥MC.

∴∠ANB為所求二面角的平面角.

∵||=,||=,=-,

∴cos<,>==-.

故所求的二面角的余弦值為-.