Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）求證：函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上為增函數(shù)；
（2）設g（x）=log2f（x），若關于x的方程g（x）=a有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意知， ，

設x1，x2是R上的任意兩個數(shù)，且x1＜x2，

則

= ，

因為x1＜x2，所以 ，

即f（x1）＜f（x2），

所以f（x）在R上為增函數(shù)

（2）解：因為關于x的方程g（x）=a有解，

所以實數(shù)a的取值范圍為函數(shù)y=g（x）的值域；

因為 ，

因為2x+1＞1，所以 ，

即0＜f（x）＜2

所以g（x）=log2f（x）值域為（﹣∞，1），

即實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，1）

【解析】（1）先化簡解析式，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義：取值、作差、變形、定號、下結論，證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）將方程有解轉(zhuǎn)化為求出函數(shù)y=g（x）的值域，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的范圍，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出g（x）的值域，即可求出實數(shù)a的取值范圍．
【考點精析】利用奇偶性與單調(diào)性的綜合對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．