【題目】已知函數(shù)
(1)求證:函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)集R上為增函數(shù);
(2)設(shè)g(x)=log2f(x),若關(guān)于x的方程g(x)=a有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)證明:由題意知,

設(shè)x1,x2是R上的任意兩個(gè)數(shù),且x1<x2,

=

因?yàn)閤1<x2,所以 ,

即f(x1)<f(x2),

所以f(x)在R上為增函數(shù)


(2)解:因?yàn)殛P(guān)于x的方程g(x)=a有解,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為函數(shù)y=g(x)的值域;

因?yàn)? ,

因?yàn)?x+1>1,所以 ,

即0<f(x)<2

所以g(x)=log2f(x)值域?yàn)椋ī仭蓿?),

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(﹣∞,1)


【解析】(1)先化簡(jiǎn)解析式,再利用函數(shù)單調(diào)性的定義:取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論,證明函數(shù)的單調(diào)性;(2)將方程有解轉(zhuǎn)化為求出函數(shù)y=g(x)的值域,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出f(x)的范圍,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出g(x)的值域,即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】利用奇偶性與單調(diào)性的綜合對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5


(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程 ;
(2)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(1)求出的回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
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