【題目】已知函數(shù) .
(1)求證:函數(shù)f(x)在實數(shù)集R上為增函數(shù);
(2)設g(x)=log2f(x),若關于x的方程g(x)=a有解,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)證明:由題意知, ,
設x1,x2是R上的任意兩個數(shù),且x1<x2,
則
= ,
因為x1<x2,所以 ,
即f(x1)<f(x2),
所以f(x)在R上為增函數(shù)
(2)解:因為關于x的方程g(x)=a有解,
所以實數(shù)a的取值范圍為函數(shù)y=g(x)的值域;
因為 ,
因為2x+1>1,所以 ,
即0<f(x)<2
所以g(x)=log2f(x)值域為(﹣∞,1),
即實數(shù)a的取值范圍為(﹣∞,1)
【解析】(1)先化簡解析式,再利用函數(shù)單調(diào)性的定義:取值、作差、變形、定號、下結論,證明函數(shù)的單調(diào)性;(2)將方程有解轉(zhuǎn)化為求出函數(shù)y=g(x)的值域,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出f(x)的范圍,由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出g(x)的值域,即可求出實數(shù)a的取值范圍.
【考點精析】利用奇偶性與單調(diào)性的綜合對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù),若對于在定義域內(nèi)存在實數(shù)滿足,則稱函數(shù)為“局部奇函數(shù)”.若函數(shù)是定義在上的“局部奇函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. [1﹣,1+) B. [﹣1,2] C. [﹣2,2] D. [﹣2,1﹣]
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改進后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù).
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關于x的回歸方程 ;
(2)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤.試根據(jù)(1)求出的回歸方程,預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤?
(參考數(shù)值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)計算回歸系數(shù) , .公式為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2, =λ .
(1)若λ=1,求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小為60°,求實數(shù)λ的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知復數(shù)z=(m2+m)+(m+1)i
(1)實數(shù)m為何值時,復數(shù)z為純虛數(shù);
(2)若m=﹣2,求 的共軛復數(shù)的模.
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