Question

（已知拋物線(xiàn)（）的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的方程，并寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）是否存在過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)（直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，），使得三角形的面積？若存在，請(qǐng)求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）參考解析；（2）存在，或

【解析】

試題分析：（1）由拋物線(xiàn)（）的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，可求得的值，即可得到拋物線(xiàn)方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)

（2）由于過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)可能垂直于x軸，依題意不可能垂直于y軸，所以假設(shè)直線(xiàn).再聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式即可得到AB的弦長(zhǎng).由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得到點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離.再由即可求出結(jié)論.

解法一：（1）由已知得：，從而拋物線(xiàn)方程為，

焦點(diǎn)坐標(biāo)為． 4分

（2）由題意，設(shè)，并與聯(lián)立，

得到方程：， 6分

設(shè)，，則，． 7分

∵，∴ ， 9分

又，∴ 10分

解得， 11分

故直線(xiàn)的方程為：．即或． 12分

解法二：（1）（同解法一）

（2）當(dāng)軸時(shí)，，，

不符合題意． 5分

故設(shè)（），并與聯(lián)立，

得到方程：， 6分

設(shè)，，則，． 7分

，

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為， 9分

∴， 10分

解得， 11分

故直線(xiàn)的方程為：．即或． 12分

考點(diǎn)：1.拋物線(xiàn)的性質(zhì).2.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的關(guān)系.3.弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.4.運(yùn)算能力.