Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若恒成立，求a的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與直線是否有公共點(diǎn)？如果有，求出所有公共點(diǎn)；若沒有，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)時(shí)，有且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)為；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用分離常數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求得的取值范圍.

（2）由構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的零點(diǎn)，由此判斷出函數(shù)的圖像與直線有公共點(diǎn)，并求得公共點(diǎn).

（3）當(dāng)時(shí)，求得的極值點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合，確定的大小關(guān)系，進(jìn)而證得不等式成立.

依題意，的定義域?yàn)?/span>.

（1）由于恒成立，即恒成立，即恒成立.

令，，

所以，

即在區(qū)間上遞減，在上遞增，

所以的最小值為，

所以.

（2）當(dāng)時(shí)，，令，

構(gòu)造函數(shù)，

，

所以當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減.

所以在時(shí)取得極小值也即是最小值，所以有唯一零點(diǎn)，所以方程有唯一解，故函數(shù)的圖像與直線有公共點(diǎn).

（3）當(dāng)時(shí)，，，

所以當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得極小值也即是最小值.

依題意且，不妨設(shè).

構(gòu)造函數(shù)，

則，

，

所以在區(qū)間上遞減，而，

所以時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，，即

由于，所以.

，

即，由于在上遞增，所以.