Question

已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別是A、B，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，連接AN、BM相交于G點(diǎn)，試求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的值.

Answer 1

（1）橢圓C方程是；（2）G的橫坐標(biāo)的值為8.

試題分析：（1）由，又點(diǎn)在橢圓上，所以，這樣便得一方程組，解這個(gè)方程組求出a、b的值，即可得橢圓C的方程；（2）首先考慮直線MN垂直于軸的情況，易得此時(shí)交點(diǎn)為，由此可知，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)應(yīng)當(dāng)為8.當(dāng)直線MN不垂直軸時(shí)，設(shè)直線MN：，.由A、N、G三點(diǎn)共線有，由A、N、G三點(diǎn)共線有，有，即，化簡，當(dāng)時(shí)化簡得.接下來聯(lián)立直線MN與橢圓方程再用韋達(dá)定理代入此等式驗(yàn)證即可.
（1）由，又點(diǎn)在橢圓上，所以解得，則橢圓C方程是；                   .3分
（2）當(dāng)直線MN垂直于軸，交點(diǎn)為，
由題知直線AN：，直線MB：，交點(diǎn)     .5分
當(dāng)直線MN不垂直軸時(shí)，設(shè)直線MN：，
聯(lián)立直線MN與橢圓方程得
，        .7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240524499671276.png" style="vertical-align:middle;" />，由A、N、G三點(diǎn)共線有
同理，由A、N、G三點(diǎn)共線有
有，即，化簡，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)化簡得帶入韋達(dá)定理恒成立，因此G的橫坐標(biāo)的值為8.   13分