Question

5．已知函數(shù)y=x²+（a+1）²+|x+a-1|的最小值大于5，則a的取值范圍是（-∞，$\frac{1-\sqrt{14}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x）的解析式，分類討論求得f（x）_min，再根據(jù)f（x）_min＞5，分別求得a的范圍，綜合可得a的范圍．

解答 解：設f（x）=y=x²+（a+1）²+|x+a-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+{a}^{2}+a+2，x＜1-a}\\{{x}^{2}+x+{a}^{2}+3a，x≥1-a}\end{array}\right.$，
①當1-a≥$\frac{1}{2}$，即a≤$\frac{1}{2}$時，
f（x）在x＜$\frac{1}{2}$時為減函數(shù)，在x＞$\frac{1}{2}$時為增函數(shù)，
故f（x）_min =f（$\frac{1}{2}$）=a²-a+$\frac{7}{4}$＞5，解得：a＜$\frac{1-\sqrt{14}}{2}$．
②當1-a≤-$\frac{1}{2}$，即a≥$\frac{3}{2}$時，
f（x）在x＜-$\frac{1}{2}$時為減函數(shù)，在x＞-$\frac{1}{2}$時為增函數(shù)，
故f（x）_min =f（-$\frac{1}{2}$）=a²+3a-$\frac{1}{4}$＞5，
解得：a≥$\frac{3}{2}$，
③當-$\frac{1}{2}$＜1-a＜$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$ 時，
f（x）在x＜1-a時為減函數(shù)，在x＞1-a時為增函數(shù)，
故f（x）_min =f（1-a）=2a²+2＞5，求得$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$．
綜上可得，a的取值范圍為（-∞，$\frac{1-\sqrt{14}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞），
故答案為：（-∞，$\frac{1-\sqrt{14}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，分段函數(shù)解析式的求法，運算量大，分類復雜，屬于中檔題．