Question

15．若F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，p是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且$|{P{F_1}}|+|{PF_2^{\;}}|=4，|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$．
（1）求出這個(gè)橢圓方程；
（2）是否存在過(guò)定點(diǎn)N（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，使$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線l的斜率k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）寫(xiě)出直線l的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，可得A、B的橫縱坐標(biāo)的積，結(jié)合$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$列式求得直線l的斜率．

解答 解：（1）由已知可得：2a=4，2c=2$\sqrt{3}$，
∴a=2，c=$\sqrt{3}$，則b²=a²-c²=1．
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）存在過(guò)定點(diǎn)N（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，使$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，此時(shí)k=±2．
由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，
則直線l的方程為y=kx+2．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+16kx+12=0．
則△=（16k）²-48（1+4k²）=64k²-48＞0，得$k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$k＞\frac{\sqrt{3}}{2}$．
再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=$（1+{k}^{2}）•\frac{12}{1+4{k}^{2}}+2k•\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}+4$=0．
解得：k=±2，符合△＞0．
∴存在過(guò)定點(diǎn)N（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，使$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，是中檔題．