Question

三個(gè)女生和四個(gè)男生排成一排．
（1）如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？
（2）如果女生必須全分開(kāi)，有多少種不的排法？
（3）如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？
（4）如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？
（5）如果最高的站中間，兩邊均按從高到低排列，有多少種不同的排法？
（6）如果四個(gè)男同學(xué)按從高到低排列，有多少種不同的排法？

Answer 1

分析：（1）用捆綁法，分兩步進(jìn)行，先3名女生看為一個(gè)整體，再將其與4名男生進(jìn)行全排列，分別求出其情況數(shù)目，進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（2）用插空法，分兩步進(jìn)行，先將4名男生全排列，有5個(gè)空位，在5個(gè)空位中任選3個(gè)，安排3名女生，分別求出其情況數(shù)目，進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（3）分兩步進(jìn)行，首先在4名男生中任取2人，安排在兩端，再將剩余的5人安排在其他5個(gè)位置，分別求出其情況數(shù)目，進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（4）用排除法，首先計(jì)算7人進(jìn)行全排列的情況數(shù)目，再計(jì)算兩端都站女生即先在3名女生中任取2人，再將剩余的5人安排在其他5個(gè)位置，的情況數(shù)目，用排除法即可得答案；
（5）只需將最高的人放在中間，在剩余的6人中任取3人放在左邊，其他的3人放在右邊，分析左右兩邊的順序情況即可得答案；
（6）分兩步進(jìn)行，先在7個(gè)位置中安排3名女生，再將剩余4個(gè)位置安排4名男生，分別求出其情況數(shù)目，進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，用捆綁法，3名女生看為一個(gè)整體，考慮其順序有A₃³種情況，
再將其與4名男生進(jìn)行全排列，有A₅⁵種情況，
則共有A₅⁵×A₃³=720種排法；
（2）用插空法，先將4名男生全排列，有A₄⁴種情況，
排好后，有5個(gè)空位，在其中任選3個(gè)，安排3名女生，有A₅³種情況，
則共有

A

4 4

•

A

3 5

=1440種排法；
（3）在4名男生中任取2人，安排在兩端，有2C₄²種情況，
再將剩余的5人安排在中間的5個(gè)位置，有A₅⁵種情況，
則共有2C₄²×A₅⁵=1440種排法；
（4）用排除法，
7人進(jìn)行全排列，有A₇⁷種排法，
兩端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再將剩余的5人安排在其他5個(gè)位置，有A₃²•A₅⁵種站法，
則共有

A

7 7

-

A

2 3

•

A

5 5

=4320種排法；
（5）只需將最高的人放在中間，在剩余的6人中任取3人放在左邊，其他的3人放在右邊，
由于順序固定，則左右兩邊只有一種排法，
則有

C

3 6

=20種排法；  
（6）先在7個(gè)位置中安排3名女生，有A₇³種排法，
剩余4個(gè)位置安排4名男生，有2種情況，
則有2

A

3 7

=420種排法．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的運(yùn)用，注意優(yōu)先分析特殊位置、特殊元素；其次要掌握不相鄰問(wèn)題采用插空法，相鄰問(wèn)題采用捆綁法等常見(jiàn)問(wèn)題的處理方法．