Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣x﹣ （a∈R），在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2）．
（ I）求a的取值范圍；
（ II）求證：x1+x2＞2e．

Answer 1

【答案】解：（I）令g（x）=f'（x）=lnx﹣ax，

由題意可知，g（x）=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不同根x1，x2，且x1＜x2，

∵g′（x）= ，

a≤0時(shí)，g′（x）≥0，y=g（x）在（0，+∞）遞增，不合題意，

當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得：x= ，

∴g（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減，

而x→0時(shí)，g（x）→﹣∞，x→+∞時(shí)，g（x）→﹣∞，

故g（x）max=g（ ）=﹣lna﹣1＞0，解得：0＜a＜

（II）由題意及（I）可知，即證 ，

設(shè)h（x）=lnx﹣ ，（x＞1），則h′（x）= ＞0，

∴h（x）在（1，+∞）遞增，

∴h（x）＞h（1）=0，

∴l(xiāng)nx＞ ，（x＞1），

令x= ＞1，則原不等式成立

【解析】第一問(wèn)根據(jù)函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，可得f(x)的導(dǎo)數(shù)g（x）等于0有兩個(gè)不同的正解；再求函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)g′（x）確定函數(shù)g（x）的單調(diào)性，根據(jù)題意可得g（x）的最大值大于0，可得。
第二問(wèn)是雙參問(wèn)題，需要消參，根據(jù)x1，x2是函數(shù)g（x）=0的兩個(gè)解，可得,,兩式相減，可得a,然后根據(jù)所證消a.再根據(jù)不等式，除以，得到,后令 ，構(gòu)造h（x）利用單調(diào)性求最值即可。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．