Question

19．已知拋物線E：x²=2py（p＞0），其焦點為F，過F且斜率為1的直線被拋物線截得的弦長為8．
（1）求拋物線E的方程；
（2）設(shè)A為E上一動點（異于原點），E在點A處的切線交x軸于點P，原點O關(guān)于直線PF的對稱點為點B，直線AB與y軸交于點C，求△OBC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）過點F且斜率為1的直線代入拋物線，利用|MN|=8，可得y₁+y₂+p=8，即可求拋物線C的方程；
（2）求出直線AB的方程是y=$\frac{{t}^{2}-4}{4t}$x+1，C（0，1），可得S_△OBC=|$\frac{2t}{{t}^{2}+4}$|≤$\frac{1}{2}$，即可求△OBC面積的最大值．

解答 解：（1）由題可知F（0，$\frac{p}{2}$），則該直線方程為：y=x+$\frac{p}{2}$，
代入x²=2py（p＞0）得：x²-2px-p²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有x₁+x₂=2p，
∵|MN|=8，∴y₁+y₂+p=8，即3p+p=8，解得p=2
∴拋物線的方程為：x²=4y；
（2）設(shè)A（t，$\frac{{t}^{2}}{4}$），則E在點A處的切線方程為y=$\frac{t}{2}$x-$\frac{{t}^{2}}{4}$，P（$\frac{t}{2}$，0），B（$\frac{4t}{{t}^{2}+4}$，$\frac{2{t}^{2}}{{t}^{2}+4}$），
直線AB的方程是y=$\frac{{t}^{2}-4}{4t}$x+1，∴C（0，1）
S_△OBC=|$\frac{2t}{{t}^{2}+4}$|≤$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=±2時，取得等號，
所以△OBC面積的最大值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查拋物線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，韋達定理的運用，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．