Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-a^x（a＞0，且a≠1），g（x）=f′（x）（其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)）．
（1）當(dāng)a=e時(shí)，求g（x）的極大值點(diǎn)；
（2）討論f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）令g′（x）=0求出g（x）的極值點(diǎn)，判斷g′（x）的符號(hào)變化即可得出答案；
（2）f′（x）=2x-lna•a^x，對(duì)a和x進(jìn)行討論，利用零點(diǎn)的存在性定理，結(jié)合函數(shù)的圖象判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）a=e時(shí)，g（x）=2x-e^x，g′（x）=2-e^x，
令g′（x）=0得：2-e^x=0，解得x=ln2，
∴當(dāng)x＜ln2時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x＞ln2時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）的極大值點(diǎn)為ln2．
（2）（Ⅰ）當(dāng)a＞1時(shí)，f′（x）=2x-lna•a^x，
∴當(dāng)x≤0時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，
∵f（-1）=1-$\frac{1}{a}$＞0，f（0）=-1＜0，
∴f（x）在（0，+∞）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x）=0得x²=a^x，即lna=$\frac{2lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{2lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$．
∴當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
做出y=h（x）的圖象如下圖，

由圖象可知：
①當(dāng)lna＞$\frac{2}{e}$即a＞e${\;}^{\frac{2}{e}}$時(shí)，f（x）在（0，+∞）上無(wú)零點(diǎn)；
②當(dāng)lna=$\frac{2}{e}$即a=e${\;}^{\frac{2}{e}}$時(shí)，f（x）在（0，+∞）上有1個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)0＜lna＜$\frac{2}{e}$即1＜a＜e${\;}^{\frac{2}{e}}$時(shí)，f（x）在（0，+∞）上有2個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f′（x）=2x-lna•a^x，
∴當(dāng) x＞0時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（0）=-l＜0，f（1）=1-a＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)x＜0時(shí)，令f（x）=0得lna=$\frac{2ln（-x）}{x}$，
令H（x）=$\frac{2ln（-x）}{x}$，則H′（x）=$\frac{2（1-ln（-x））}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)-e＜x＜0時(shí)，H′（x）＞0，當(dāng)x＜-e時(shí)，H′（x）＜0，
∴H（x）在（-∞，-e）上單調(diào)遞減，在（-e，0）上單調(diào)遞增，
作出y=H（x）的函數(shù)圖象如圖：

由圖象可知：
當(dāng)lna＜-$\frac{2}{e}$即0$＜a＜{e}^{-\frac{2}{e}}$時(shí)，f（x）在（-∞，0）上無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)lna=-$\frac{2}{e}$即a=e${\;}^{-\frac{2}{e}}$時(shí)，f（x）在（-∞，0）上有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)-$\frac{2}{e}$＜lna＜0即e${\;}^{-\frac{2}{e}}$＜a＜1時(shí)，f（x）在（-∞，0）上有2個(gè)零點(diǎn)；
綜上：
①當(dāng)0＜a＜e${\;}^{-\frac{2}{3}}$或a＞e${\;}^{\frac{2}{3}}$時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a=e${\;}^{-\frac{2}{3}}$或a=e${\;}^{\frac{2}{3}}$時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)e${\;}^{-\frac{2}{3}}$＜a＜1或1＜a＜e${\;}^{\frac{2}{e}}$時(shí)，f（x）有3個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，極值的關(guān)系，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，分類(lèi)討論思想，屬于難題．