Question

已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）定義：若函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為，則稱區(qū)間為函數(shù)的“域同區(qū)間”.試問函數(shù)在上是否存在“域同區(qū)間”？若存在，求出所有符合條件的“域同區(qū)間”；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1），；（2）不存在，詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求出函數(shù)的定義域與導數(shù)，求出極值點后，利用圖表法確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的極大值與極小值；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)定義得到，，問題轉(zhuǎn)化為求方程在區(qū)間上的實數(shù)根，若方程的根的個數(shù)小于，則不存在“域同區(qū)間”；若上述方程的根的個數(shù)不少于，則存在“域同區(qū)間”，并要求求出相應(yīng)的根，從而確定相應(yīng)的“域同區(qū)間”.

試題解析：（1），定義域為，

且，

令，解得或，列表如下：

	增	極大值	減	極小值	增

故函數(shù)在處取得極大值，即，

函數(shù)在處取得極小值，即；

（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在“域同區(qū)間”，則有，，

則方程在區(qū)間上至少有兩個不同的實數(shù)根，

構(gòu)造新函數(shù)，定義域為，

，令，解得，，

當時，；當時，，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

因為，，，故函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點，

即方程在區(qū)間上只存在唯一實數(shù)根，

故函數(shù)在區(qū)間上不存在“域同區(qū)間”.

考點：1.函數(shù)的極值；2.新定義；3.函數(shù)的零點