Question

11．設正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n+1=$\frac{1}{2}$a₂S_n+a₁，S₃=14．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=a_n-1，求$\frac{{a}_{1}}{_{1}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{_{n}_{n+1}}$．

Answer 1

分析 （I）S_n+1=$\frac{1}{2}$a₂S_n+a₁，S₃=14．可得n=1時，a₁+a₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{a}_{1}$+a₁，a₂＞0，解得a₁．n=2時，2+a₂+a₃=$\frac{1}{2}{a}_{2}（2+{a}_{2}）$+2=14，解得a₂，可得S_n+1=2S_n+2，利用遞推關系與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）b_n=a_n-1=2ⁿ-1，可得$\frac{{a}_{n}}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵S_n+1=$\frac{1}{2}$a₂S_n+a₁，S₃=14．∴n=1時，a₁+a₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{a}_{1}$+a₁，a₂＞0，解得a₁=2．
n=2時，2+a₂+a₃=$\frac{1}{2}{a}_{2}（2+{a}_{2}）$+2=14，解得a₂=4，
∴S_n+1=2S_n+2，
n≥2時，S_n=2S_n-1+2，可得：a_n+1=2a_n（n=1時也成立）．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項與公比都為2，
∴a_n=2ⁿ．
（II）b_n=a_n-1=2ⁿ-1，∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
∴$\frac{{a}_{1}}{_{1}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{_{n}_{n+1}}$=$（1-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、“裂項求和”方法、數(shù)列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．