Question

如圖，在多面體ABCDE中，四邊形ACDE是矩形，且平面ACDE⊥平面ABC，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AE=AB=2，F(xiàn)、G分別是棱BE、AC的中點(diǎn)，
（Ⅰ）證明：直線AF∥平面BGD；
（Ⅱ）求二面角C-BD-G的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取ED的中點(diǎn)M，則FM∥BD，AM∥GD，可得面AFM∥面BGD，從而證得AF∥面BGD．
（Ⅱ）作GN⊥BC于N，則GN⊥面BCD，作NH⊥BD于H，則∠GHN就是二面角C-BD-G的平面角，求出NH和GN，在R_t△BGC中，
由  tan∠GHN= 

GN

NH

求得∠GHN 的大�。�

解答：證明：（Ⅰ）取ED的中點(diǎn)M，連接AM，F(xiàn)M，
則FM∥BD，AM∥GD，∴FM∥面BGD，AM∥面BGD，
∴面AFM∥面BGD，∴AF∥面BGD．
（Ⅱ）由題設(shè)面ACDE⊥面ABC，BG⊥AC，∴BG⊥面ACDE
又∵BG?面BGD，∴面BGD⊥面ACDE，由題設(shè)，面BCD⊥面ABC，
作GN⊥BC于N，則GN⊥面BCD，作NH⊥BD于H，連接GH，
由三垂線定理可知BD⊥GH，
∴∠GHN就是二面角C-BD-G的平面角，在R_t△BCD中，
可得NH=

2

2

，在R_t△BGC中，可得GN=1，故tan∠GHN=

2

．

點(diǎn)評：本題考查證明線面平行的方法，求二面角的大小，找出二面角的平面角是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．