Question

已知f(x)=

2x-a

2x+1

（a∈R）的圖象關于坐標原點對稱
（1）求a的值，并求出函數F（x）=f（x）+2^x-

4

2x+1

-1的零點；
（2）若函數h(x)=f(x)+2x-

b

2x+1

在[0，1]內存在零點，求實數b的取值范圍
（3）設g(x)=log4

k+x

1-x

，若不等式f^-1（x）≤g（x）在x∈[

1

2

，

2

3

]上恒成立，求滿足條件的最小整數k的值．

Answer 1

分析：（1）根據函數的圖象關于原點對稱，可得f（x）是定義在R的奇函數，圖象必過原點，即f（0）=0，求出a的值，求出函數F（x）的解析式，解指數方程求求出函數的零點；
（2）函數h(x)=f(x)+2x-

b

2x+1

在[0，1]內存在零點，方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]內有解，分析函數b=（2^x）²+2^x+1-1在[0，1]內的單調性，及端點的函數值符號，進而根據零點存在定理得到結論．
（3）由不等式f^-1（x）≤g（x）在x∈[

1

2

，

2

3

]上恒成立，利用基本不等式可求出滿足條件的k的范圍，進而求出最小整數k的值．

解答：解：（1）由題意知f（x）是R上的奇函數，
所以f（0）=0得a=1
∴f(x)=

2x-1

2x+1

∴F（x）=

2x-1

2x+1

+2x-

4

2x+1

-1=

(2x)2+2x-6

2x+1

由（2^x）²+2^x-6=0，可得2^x=2，
所以，x=1，即F（x）的零點為x=1
（2）h(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

b

2x+1

=

(2x)2+2x+1-1-b

2x+1

有題設知h（x）=0在[0，1]內有解，即方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]內有解
b=（2^x）²+2^x+1-1=（2^x+1）²-2在[0，1]內遞增，2≤b≤7
所以當2≤b≤7時函數h(x)=f(x)+2x-

b

2x+1

在[0，1]內存在零點           
（3）由f^-1（x）≤g（x）得log2

1+x

1-x

≤log4

k+x

1-x

k+x≥

(1+x)2

1-x

，顯然x∈[

1

2

，

2

3

]時k+x＞0，即k≥

2x2+x+1

1-x

設m=1-x  ，由于x∈[

1

2

，

2

3

]    所以m∈[

1

3

，

1

2

]
于是

2x2+x+1

1-x

=

2m2-5m+4

m

=2m+

4

m

-5∈[4，

23

3

]
所以k≥

23

3

滿足條件的最小整數k的值是k=8．

點評：本題考查的知識點是函數零點的判定定理，函數恒成立問題，基本不等式，函數的最值，是函數圖象和性質及函數零點，函數恒成立問題的一個比較復雜的綜合應用，難度較大．