Question

已知（2+

x

2

）ⁿ展開式中的第五、第六、第七項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)．

Answer 1

分析：問題的關(guān)鍵在于求n，n確定后，可由二項式系數(shù)的性質(zhì)確定項．

解答：解：由于第五、第六、第七項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列可得
C_n⁴+C_n⁶=2C_n⁵建立關(guān)于n的方程得

n(n-1)(n-2)(n-3)

4！

+

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)

6！

=2•

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

5！

，
化簡得n²-21n+98=0，
解得n=14或7，
當(dāng)n=14時，二項式系數(shù)最大的項是T₈，
其系數(shù)為C₁₄⁷•2⁷•（

1

2

）⁷=3432；
當(dāng)n=7時，
二項式系數(shù)最大的項是T₄和T₅，T₄的系數(shù)為C₇³•2⁴（

1

2

）³=70，T₅的系數(shù)為C₇⁴•2³（

1

2

）⁴=

35

2

．

點評：在（2+

x

2

）ⁿ的展開式中，每一項的系數(shù)與它的二項式系數(shù)是不同的．求解中若不注意這一點，就會產(chǎn)生錯誤．
利用方程的觀點建立關(guān)于n的方程是二項式系數(shù)應(yīng)用的一大特點，求解時注意：是求二項式系數(shù)最大的系數(shù)，而不是求二項式系數(shù)．