Question

16．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），兩個焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，離心率e=$\sqrt{3}$，且焦點到漸近線的距離是$\sqrt{2}$，則雙曲線的標準方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

Answer 1

分析 運用離心率公式和漸近線方程，結合點到直線的距離公式可得b，再由a，b，c的關系，得到a，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率e=$\sqrt{3}$，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$a，
設焦點為（c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
則d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b=$\sqrt{2}$，
又b²=c²-a²=2，c=$\sqrt{3}$a，
解得a²=1．
∴雙曲線的方程為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
故答案為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查離心率和漸近線方程的運用，屬于基礎題．