Question

9．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項a₁=1，公比q＞0，其前n項和為S_n，且S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_nb_n=n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差數(shù)列，
∴2（S₃+a₃）=S₂+a₂+S₁+a₁，
∴$2{a}_{1}（1+q+2{q}^{2}）$=3a₁+2a₁q，
化為4q²=1，公比q＞0，
∴q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）∵a_nb_n=n，
∴b_n=n•2^n-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
2T_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．