Question

11．如圖，直線PA與圓相切于點(diǎn)A，過P作直線與圓交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)B在圓上，且∠PAC=∠BCD．
（1）證明：AB∥CD；
（2）若PC=2AC，求$\frac{AP}{BC}$．

Answer 1

分析 （1）證明∠ABC=∠BCD，即可證明AB∥CD；
（2）若PC=2AC，證明△PAC∽△CBA，即可求$\frac{AP}{BC}$．

解答 （1）證明：∵直線PA與圓相切于點(diǎn)A，過P作直線與圓交于C、D兩點(diǎn)，
∴∠PAC=∠ABC------------（2分）
∵∠PAC=∠BCD
∴∠ABC=∠BCD-----------（3分）
∴AB∥CD---------------（5分）
（2）解：由（1）得AB∥CD，∠PAC=∠ABC
∴∠BAC=∠ACP-------------（7分）
∴△PAC∽△CBA-------------（9分）
∴$\frac{AP}{BC}$=$\frac{PC}{CA}$=2------------------（10分）

點(diǎn)評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形相似的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．