Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，${a_{n+1}}-{a_n}={2^n}$；數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且${S_n}=\frac{1}{2}（3{n^2}-n）$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}和{b_n}的公共項從小到大排成新數(shù)列{c_n}，試寫出c₁，c₂，并證明{c_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，對于數(shù)列{a_n}，由遞推公式可得a_n=[（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）]+a₁，計算即可得數(shù)列{a_n}的通項公式，對于數(shù)列{b_n}，有S_n公式表示出${S_{n-1}}=\frac{1}{2}[3{（n-1）^2}-（n-1）]（n≥2）$，兩式相減可得b_n=3n-2，驗證b₁即可得答案；
（2）根據(jù)題意，由數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式分析兩個數(shù)列的相同項，可得新數(shù)列{c_n}的通項公式，由等比數(shù)列的定義分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知，當n≥2時，a_n=[（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）]+a₁=（2^n-1+2^n-2+…+2）+2=2ⁿ
又因為a₁=2，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}={2^n}$．
因為${S_n}=\frac{1}{2}（3{n^2}-n）$，所以，${S_{n-1}}=\frac{1}{2}[3{（n-1）^2}-（n-1）]（n≥2）$
兩式做差可得b_n=3n-2，且b₁=S₁=1也滿足此式，
所以b_n=3n-2；
（Ⅱ）由${a_n}={2^n}$，b_n=3n-2，可得c₁=4=a₂=b₂，c₂=a₄=b₆=16．
假設(shè)${c_n}={b_m}={a_k}={2^k}$，
則3m-2=2^k．
所以${a_{k+1}}={2^{k+1}}=2•{2^k}=2（3m-2）=3（2m-1）-1$，不是數(shù)列{b_n}中的項；
${a_{k+2}}={2^{k+2}}=4•{2^k}=4（3m-2）$=3（4m-2）-2，是數(shù)列中的第4m-2項．
所以c_n+1=b_4m-2=${a_{k+2}}={2^{k+2}}$，
從而$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}=\frac{{{2^{k+2}}}}{2^k}=4$．
所以{c_n}是首項為4，公比為4的等比數(shù)列．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，涉及等比數(shù)列的確定，關(guān)鍵是求出兩個數(shù)列的通項公式．