Question

20．某縣一中計劃把一塊邊長為20米的等邊三角形ABC的邊角地辟為植物新品種實驗基地，圖中DE需把基地分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．
（1）設(shè)AD=x（x≥10），ED=y，試用x表示y的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果DE是灌溉輸水管道的位置，為了節(jié)約，則希望它最短，DE的位置應(yīng)該在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應(yīng)該在哪里？說明理由．

Answer 1

分析 （1）三角形ADE中的∠A=60°，由余弦定理得y，x，AE三者的關(guān)系求出函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）∵△ABC的邊長是20米，D在AB上，則10≤x≤20，
S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$x•AEsin60°=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（20）²，
故AE=$\frac{200}{x}$，
在三角形ADE中，由余弦定理得：
y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{•10}^{4}}{{x}^{2}}-200}$，（10≤x≤20）；
（2）若DE作為輸水管道，則需求y的最小值，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{•10}^{4}}{{x}^{2}}-200}$≥$\sqrt{400-200}$=10$\sqrt{2}$，
當且僅當x²=$\frac{4{•10}^{4}}{{x}^{2}}$即x=10$\sqrt{2}$時“=”成立．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查余弦定理的應(yīng)用，是一道中檔題．