Question

16．已知函數$f（x）=2sin（wx+φ+\frac{π}{3}）+1（|φ|＜\frac{π}{2}，w＞0）$是偶函數，且函數f（x）兩相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求$f（\frac{π}{8}）$的值．
（2）當x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）時，求方程f（x）=$\frac{5}{4}$的實數根之和．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數的恒等變換和性質可知周期T=π，φ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，從而得出f（x）的解析式，代入計算即可；
（2）求出f（x）在區(qū)間（-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上的對稱軸，利用函數的對稱性得出所有根之和．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（ωx+φ+$\frac{π}{3}$）+1是偶函數，
∴φ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，即φ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$．
∵函數f（x）兩相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{?}$=π，∴ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，
∴f（$\frac{π}{8}$）=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．
（2）令2x=kπ得x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴f（x）在區(qū)間（-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上有兩個周期，三條對稱軸x=0，x=$\frac{π}{2}$，x=π，
∴f（x）=$\frac{5}{4}$在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上有4解，不妨設x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
則x₁+x₂=0，x₃+x₄=2π，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=2π，即方程f（x）=$\frac{5}{4}$的實數根之和為2π．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質，三角函數計算，屬于中檔題．