Question

矩形ABCD中，AD=2，AB≥AD，E為AD的中點(diǎn)，P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)∠DPE取得最大時(shí)，AP等于（ ）
A．2
B．
C．
D．1

Answer 1

【答案】分析：設(shè)AP=x，x＞0，設(shè)∠DPE=θ，則易知0°＜θ＜60°，在△DPE中利用余弦定理可表示出cosθ，然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)sinθ的最大值問題即可解決．
解答：解：設(shè)AP=x，則x＞0，由題意知，DE=1，PE=，PD=，
可以看出三邊中其中DE最短，所以其對(duì)應(yīng)的∠DPE最小，設(shè)∠DPE=θ，則0°＜θ＜60°，
由余弦定理得：cosθ==，
sin²θ=1-cos²θ=1-=，
因?yàn)閟inθ在0°＜θ＜60°時(shí)為單調(diào)梯增函數(shù)，要使θ最大，即sinθ，最大就可，
sin²θ=，而=9，
當(dāng)且僅當(dāng)即x=時(shí)取等號(hào)．
則，所以sin，當(dāng)x=時(shí)取等號(hào)，即θ取得最大值，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了余弦定理、函數(shù)最值的求解及函數(shù)思想，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力．