Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（2x²+bx+c）•e^x在x=與x=-1時(shí)有極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在[-1，2]和的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x=與x=-1，得到f′（）=0且f′（-1）=0．聯(lián)解方程組，可得實(shí)數(shù)b、c的值，從而得到函數(shù)求f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）的b、c的值，得到導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x（2x-3）（x+1），分別解出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（3）利用（2）中的單調(diào)性，將區(qū)間[-1，2]分成兩個(gè)區(qū)間：（-1，）和（，2），分別求出f（-1）、f（）和f（2）的值再進(jìn)行大小比較，即可得出f（x）在[-1，2]和的最大值與最小值．
解答：解：（1）∵f（x）=（2x²+bx+c）e^x
∴f′（x）=（4x+b）e^x+（2x²+bx+c）e^x=e^x[2x²+（b+4）x+b+c
∵f（x）在x=與x=-1時(shí)有極值
∴f′（）=0且f′（-1）=0
得，解之得
∴f（x）=（2x²-5x+2）e^x
（2）由（1）得f′（x）=e^x（2x²-x-3）=e^x（2x-3）（x+1）
令f′（x）＞0，得x＞或x＜-1；令f′（x）＜0，得-1＜x＜
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（-1，）
（3）根據(jù)（2）的單調(diào)性，在區(qū)間[-1，2]上列出下表：

由表格可得f（x）在[-1，2]和的最大值為f（-1）=，最小值為f（）=-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．請(qǐng)同學(xué)們注意解題過程中，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系和數(shù)形結(jié)合的方法加以理解．