Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和公式為S_n=

1

2

×3ⁿ⁺¹-

3

2

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=log₃

an

81

，求數(shù)列 {|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n（其中，n≥5）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求解．
（2）b_n=log₃

an

81

=log3

3n

81

=n-4，由此能求出數(shù)列 {|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n（其中，n≥5）．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

2

×3ⁿ⁺¹-

3

2

，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=

1

2

×3²-

3

2

=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（

1

2

×3ⁿ⁺¹-

3

2

）-（

1

2

×3ⁿ⁺²-

3

2

）=3ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴a_n=3ⁿ．
（2）b_n=log₃

an

81

=log3

3n

81

=n-4，
令b_n≥0，即n-4≥0，得n≥4，
即第四項(xiàng)開始各項(xiàng)均非負(fù)，
∴當(dāng)n≥5時(shí)，T_n=3+2+1+0+

(n-4)[1+(n-4)]

2

=

1

2

n2-

7

2

n+12．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)絕對值的和的求法，解題時(shí)要注意對數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．