Question

函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1在區(qū)間[

1

2

，2]上存在唯一零點，則實數(shù)a取值范圍

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：首先求出a=0時原函數(shù)的零點，說明a=0滿足題意；然后求出a≠0時原函數(shù)的零點，分a＞0和a＜0分析原函數(shù)的單調性，結合函數(shù)零點存在性定理列式求得a的取值范圍．

解答： 解：當a=0時，f（x）=-3x²+1，由f（x）=0，解得x=±

3

3

，

3

3

∈[

1

2

，2]，符合題意；
當a≠0時，f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
可得函數(shù)f（x）有兩個極值點0，

2

a

．
當a＜0時，

2

a

是函數(shù)的極小值點，0是函數(shù)的極大值點，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
要使函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1在區(qū)間[

1

2

，2]上存在唯一零點，則

f( 1 2 )≥0 f(2)≤0

，
即

a 8 - 3 4 +1≥0 8a-12+1≤0

，解得：-2≤a＜0；
當a＞0時，

2

a

是函數(shù)的極小值點，0是函數(shù)的極大值點，
要使函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1在區(qū)間[

1

2

，2]上存在唯一零點，
則

1 2 ≤ 2 a ≤2 f( 2 a )= 8 a2 - 12 a2 +1=0

①或

f( 2 a )= 8 a2 - 12 a2 +1＜0 f( 1 2 )•f(2)=( a 8 + 1 4 )(8a-11)＜0

②，
解①得：a=2．
解②得：0＜a＜

11

8

．
∴a=2或0＜a＜

11

8

．
綜上，使函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1在區(qū)間[

1

2

，2]上存在唯一零點的實數(shù)a的取值范圍是[-2，

11

8

）∪{2}．
故答案為：[-2，

11

8

）∪{2}．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的極值，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，
是中檔題．