Question

11．在平行四邊形ABCD中，已知AB=4，AD=3，∠DAB=$\frac{π}{3}$，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FC}$，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{EF}$的值為18．

Answer 1

分析 運(yùn)用數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=6，再由向量的加減運(yùn)算，可得$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$，再由數(shù)量積的性質(zhì)：
向量的平方即為模的平方，可得所求值．

解答 解：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos$\frac{π}{3}$=4×3×$\frac{1}{2}$=6，
$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$，
即有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$）
=$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=16+$\frac{1}{3}$×6=18．
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量的加減法的法則，以及數(shù)量積的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．